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悬链线
来源: 哔哩哔哩      时间:2023-08-30 14:32:26

一条均匀,柔软的绳索,受重力而自然下垂,问其形成的是是什么类型的曲线?

看上去真的像是一条抛物线,是不是?

但事实上,我们的直觉欺骗了我们,这并不是一条抛物线,只是很像而已,接下来,我们就用严格的数学去推导这是一条什么样的曲线。


【资料图】

1.列方程

显然这条曲线会有一个最低点,我们把这个点记作A点,再任取曲线上任意一点B,对AB这段弧进行受力分析。

A处的拉力是沿水平方向的,B处的拉力沿B点处曲线的切线方向,二者受到的拉力在水平方向上互相抵消,B点拉力的竖直分量则与重力抵消。

设绳索的线密度为k,重力加速度为g,那么AB段绳索受到的重力就是AB段的绳长乘上线密度再乘上重力加速度。以A为原点建立坐标系,设绳索形成的曲线函数解析式为y=f(x),B点坐标为(x0,f(x0)),那么根据曲线弧长公式:,AB段绳索受到的重力就是,等于B点处拉力在竖直方向上的分量,根据三角函数关系,有,其中为B点处拉力与水平方向所成的夹角。又因为,所以,那么因为对于一条固定的绳索,Ta为定值,k,g也为定值,所以带入并简化,得:(C=Ta/kg),因为这个B点是任取的,所以x0可以任意变化,把这个方程一般化,就可以得到,这里的积分实际上是一个变上限积分,等于,(F(x)表示f(x)的一个确定的原函数)

2.降阶为一阶微分方程

对方程两边分别求导,左边求导的结果就是,右边求导的结果为,那么记y对x的导数等于p,则,就有,两端积分,得:,令p=tanr(r角在一四象限),那么右侧积分可以改写为,又因为原积分等于(详细推导请看上一篇专栏——如何把点光源射出的光变成平行光?),那么我们就得到(D为常数)。所以,所以,就得到p=,等于。

3.积出结果

p是y的导函数,则有,两端积分,得,再令等于s,则原积分改写为,(E为常数),则(通解)

最后我们发现,这实际上是由一个双曲余弦函数变化而得的。

最后求一下特解,最低点在原点处,所以D等于0,E=-C,所以特解为。

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